爱数社招新试题

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Stolz定理的应用
预备知识：

1.stolz定理 若数列{${a_n}$} {${b_n}$}满足{${b_n}$}严格单调递增且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$${b_n}=+\infty$，且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$${a_{n+1}-a_n}\over{b_{n+1}-b_n}$=L，(其中L可以为有限实数，也可以为$\pm\infty$),则$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$${a_n}\over{b_n}$=L

2.stolz定理 若数列{${a_n}$}{${b_n}$}满足{${b_n}$}严格单调递减且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$${b_n}=0$，且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$${a_{n+1}-a_n}\over{b_{n+1}-b_n}$=L，(其中L可以为有限实数，也可以为$\pm\infty$),则$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$${a_n}\over{b_n}$=L

3.f(n)>0,且极限存在的条件下，有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$f(n)=$e^{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\ln f(n)}$

习题
(以下所有习题均不需要使用$\epsilon$-N语言)
1.求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

2.$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}$${x_n}$=A，讨论下列四个式子的极限：
(1)$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+…+\frac{1}{x_n}}$
(2)$\sqrt[n]{x_1 x_2 x_3…x_n}$
(3)$\frac{x_1 +x_2 +x_3…+x_n}{n}$
(4)$\sqrt{\frac{x_1^2 +x_2^2 +x_3^2…+x_n^2}{n}}$

3.数列{${a_n}$} {${b_n}$}的极限分别为A，B
求证：$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1 b_n +a_2 b_{n-1} +a_3 b_{n-2}+…+a_n b_1}{n}=AB$$

4.若数列{${a_n}$}满足$a_{n+1}=a_n(1-a_n),a_n\in(0,1)$,求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\cdot a_n$

5.若正数列{${a_n}$}满足$a_n=\frac{a_{n+1}^2}{n}+a_{n+1},n\geq1$,求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\cdot \ln n$

6.求极限：$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^n\ln C_n^k}{n^2}$$